Juozas gimė 1904 m. lapkričio mėn. 20 d. Šeimoje iš viso buvo vienuolika vaikų. Vaikystėje teko padėti tėvams dirbti įvairius ūkio darbus.

Mokėsi Marijonų gimnazijoje Marijampolėje, kur baigė 4 klases su pagyrimu. Vėliau išvyko studijuoti į Turino licėjų Italijoje. Sugrįžęs į Lietuvą 1943-aisiais metais baigė Vilniaus universiteto Humanitarinių mokslų fakultetą ir įgijo klasikinių kalbų filologo diplomą. Po karo dirbo Vilkaviškio gimnazijos direktoriumi, mokytojavo Kaišiadoryse, dirbo švietimo inspektoriumi. Vėliau jam nebuvo leista dirbti švietimo srityje, tad Juozas Paukštys pasirinko ekonomisto, buhalterio profesiją. Yra parašęs straipsnių įvairiais filosofijos, teologijos klausimais.

Juozo žmona Stanislava ( 1914 - 2001 ) dirbo akušerė. Šeimai 1940 gimė duktė Jūratė, o 1950 sūnus Skirmantas Juozas, abu vaikai pasirinko medikų specialybes. 

Holokausto metu Juozas Paukštys savo namuose slėpė žydus.

Iš sūnaus Skirmanto Juozo išleistos prisiminimų knygos MES :

„Kokie svarbiausi Tėvo charakterio bruožai? Santūrumas, pasitikėjimas savimi, elegancija, tiesumas, sąžiningumas...

...Labai svarbus bruožas – orumas, savo vertės išlaikymas.

...Tėvas gerai suvokė gresiantį pavojų, bet padėti žmogui nelaimėje – jam buvo širdies diktuojama pareiga.

...Tėvas sugebėdavo kasdienybės smulkmenų nesureikšminti, turėjo subtilų humoro jausmą.“